Analysis Beispiele

$e^{e^{x^{2}}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = e^{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{x^{2}}$ .

$e^{e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$e^{e^{x^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{e^{x^{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$e^{e^{x^{2}}} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Multipliziere $e^{e^{x^{2}}}$ mit $e^{x^{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} e^{e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x^{2} + e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2} + e^{x^{2}}} (2 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2} + e^{x^{2}}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2} + e^{x^{2}}} x$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2} + e^{x^{2}}} x$ um.

$2 x e^{x^{2} + e^{x^{2}}}$