Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1^{2}$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 2^{2}$

Schritt 2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ als ${u_{1}}^{- 1}$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ als ${u_{1}}^{- 2}$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ und ${u_{1}}^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

Schritt 3.5

Bringe ${u_{1}}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Dann ist $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , folglich $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 {u_{1}}^{- 1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

Schritt 6.1.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

Schritt 6.1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 10

Berechne $e^{u_{2}}$ bei $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Schritt 11.2

Kombiniere $e^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Schritt 11.3

Multipliziere $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ .

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Dezimalform:

$1.43508370 \dots$

Schritt 13