Analysis Beispiele

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Schritt 1

Schreibe $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ als Funktion.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Schritt 4

Sei $u = x + 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Schritt 5.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.7

Stelle $u$ und $- 1$ um.

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.8

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.9

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.12

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.14

Addiere $2$ und $1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.15

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.16

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.17

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.19

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.20

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.21

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.23

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Schritt 6.24

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Schritt 6.25

Subtrahiere $2 u^{2}$ von $- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Schritt 9

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Schritt 13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Schritt 13.2.3.2

Dividiere $u^{2}$ durch $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$