Analysis Beispiele

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{- (i + 1)}$ und $3^{- i}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3^{- i}$ aus $3^{- (i + 1)}$ heraus.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Dividiere $3^{- (i + 1) + i}$ durch $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Schritt 2.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- i - 1 + i$ .

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $- i$ und $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Schritt 2.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $- 2$ für $i$ in $3^{- i}$ ein.

$a = 3^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$a = 9$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ in den Zähler.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{6}$ heraus.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $3$ mit $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.8

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11.2

Subtrahiere $1$ von $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $2$ aus $728$ heraus.

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.3

Forme den Ausdruck um.

$9 (\frac{364}{243})$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $9$ aus $243$ heraus.

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Schritt 5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Schritt 5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{364}{27}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{364}{27}$

Dezimalform:

$13.\overline{481}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$13 \frac{13}{27}$