Analysis Beispiele

$\ln (2 e^{x} - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 e^{x} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 e^{x} + 0)$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere $2 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 e^{x})$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 e^{x} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{x} - 1} e^{x}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{2}{2 e^{x} - 1}$ und $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{2 e^{x} - 1}$