Analysis Beispiele

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Faktorisiere $9$ aus $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Faktorisiere $9$ aus $1$ heraus.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $9$ aus $9 {u_{2}}^{2}$ heraus.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ heraus.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 10

Schreibe $\frac{1}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2}$ um.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Schritt 12.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Schritt 12.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Schritt 12.2

Schreibe $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ als $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ um.

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 12.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$