Analysis Beispiele

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ als $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ um.

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.3.1.1.2

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 4.3.1.3.3

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 4.3.1.3.4

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Schritt 4.3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 4.3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ um.

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $\cos (2 x) \sin (2 x)$ von $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 4.4

Bewege $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 4.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 8.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 8.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 8.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 8.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere.

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Schritt 8.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 8.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 9.2

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $\int u_{2} d u_{2}$ mit $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$