Analysis Beispiele

$y = {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 5$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2 x + 1$ mit $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 (x - 5)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{0 + 1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 + 10}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $10$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ an.

$3 \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ mit $\frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 11}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere ${(2 x + 1)}^{2}$ mit ${(2 x + 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2 + 2}}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{4}}$