Analysis Beispiele

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 8$ .

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.6.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.10.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.10.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.10.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $2 x^{2} + 16 x + 16$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 14 x + 16$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.7

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 4.9

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ um.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$