Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{1}{2} x)}{x}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{2})}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}}{1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{x}{2})$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$