Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x}{x^{2} - 10 x + 3}$

Schritt 1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x^{2} - 10 x + 3}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{- 10 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x$ heraus.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 10}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{- 10}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{10}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{10}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{10}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$5 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$5 \frac{0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{0}{1 - 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$5 \frac{0}{1 - 10 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{0}{1 - 10 \cdot 0 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$5 \frac{0}{1 - 10 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$5 \frac{0}{1 + 0 + 3 \cdot 0}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$5 \frac{0}{1 + 0 + 0}$

Schritt 9.1.3

Addiere $1 + 0$ und $0$ .

$5 \frac{0}{1 + 0}$

Schritt 9.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$5 (\frac{0}{1})$

Schritt 9.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 \cdot 0$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0$