Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - x - 11$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.7

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.8

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.1.3

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.1.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.2

Addiere $2 e^{x} x$ und $x e^{x}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $2 x e^{x}$ und $x e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.3

Addiere $- e^{x}$ und $11 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $3 e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $10 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.1.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.1.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.2

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 4.6.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3.2.2

Schreibe $3$ um als $- 2$ plus $5$

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 2$ .

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.4

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

Schritt 4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

Schritt 4.7.2.4

Dividiere $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ durch $1$ .

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

Schritt 4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Schritt 4.10

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

Schritt 4.11

Multipliziere $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

Schritt 4.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

Schritt 4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Schritt 4.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.12.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.1.1.1

Bewege $x$ .

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Schritt 4.12.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Schritt 4.12.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Schritt 4.12.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Schritt 4.12.2

Subtrahiere $2 e^{- x} x$ von $5 e^{- x} x$ .

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Schritt 4.13

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ um.

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$