Analysis Beispiele

$(2 x - 1) e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(2 x - 1) e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (2 x - 1) e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (2 x - 1) e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 2 x - 1$ und $d v = e^{x}$ .

$(2 x - 1) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x$

Schritt 5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$(2 x - 1) e^{x} - \int 2 e^{x} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$(2 x - 1) e^{x} - (2 \int e^{x} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 x - 1) e^{x} - 2 \int e^{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$(2 x - 1) e^{x} - 2 (e^{x} + C)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $(2 x - 1) e^{x} - 2 (e^{x} + C)$ als $2 x e^{x} - e^{x} - 2 e^{x} + C$ um.

$2 x e^{x} - e^{x} - 2 e^{x} + C$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2 e^{x}$ von $- e^{x}$ .

$2 x e^{x} - 3 e^{x} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{x} - 3 e^{x} + C$