Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Schritt 1.1.1.2.3.2

Kombiniere $\frac{2}{1 + x^{4}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Schritt 1.1.1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $x^{4} + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.5

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{4} + 2$ heraus.

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Schritt 1.1.2.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.7

Schreibe $- (3 x^{4} - 1)$ als $- 1 (3 x^{4} - 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{4} - 1$ durch $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{4} = 1$

Schritt 1.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{4} = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{4} = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 1.2.3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4.2

Potenziere $\sqrt[4]{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Schritt 1.2.3.5.4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.3.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ als $\sqrt[4]{3^{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Schritt 1.2.3.5.5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 1.2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $81$ und $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $82$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $484$ und $6724$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $484$ heraus.

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $6724$ heraus.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Schritt 4.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ konkav, weil $f'' (- 3)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{4}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $81$ und $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Schritt 6.2.3.3

Potenziere $82$ mit $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $484$ und $6724$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $484$ heraus.

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $6724$ heraus.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Schritt 6.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Schritt 6.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ konkav, weil $f'' (3)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8