Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (3 θ)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $3 (\cos (3 θ))$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Schritt 1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Schritt 2

Da $9$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 3 θ$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d θ$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 3 θ$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Schritt 3.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $3 θ$ nach $θ$ gleich $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $θ$ in $u_{1} = 3 θ$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $θ$ in $u_{1} = 3 θ$ ein.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 4

Kombiniere $\cos^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 12

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 12.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 12.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 12.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 12.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 15

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Schritt 16

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 16.1

Berechne $u_{1}$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Schritt 16.2

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Schritt 16.3

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Schritt 17.3

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Schritt 17.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Schritt 18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Schritt 18.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Schritt 18.3

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 18.4

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 18.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 19

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 π}{4}$

Dezimalform:

$2.35619449 \dots$