Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

Schritt 1.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y = 5 - 2 - 2$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$y = 3 - 2$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 2 x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 - 6 x^{2} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $5 - 6 x^{2}$ und $0$ .

$5 - 6 x^{2}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{2} + 5$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 6 \cdot 1 + 5$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 + 5$

Schritt 2.7.2

Addiere $- 6$ und $5$ .

$- 1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - x + 2$

Schritt 4