Analysis Beispiele

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{6}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$