Analysis Beispiele

$2 x \ln (5 x^{2})$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (5 x^{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{5 x^{2}}$ und $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $\ln (5 x^{2})$ mit $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$2 \ln (5 x^{2}) + 4$