Analysis Beispiele

$\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Sei $u = 4 x + 3$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 4 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 9.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

Schritt 12

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 13.2

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 13.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 15.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 15.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 15.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Schritt 15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Schritt 15.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 3$ .

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$