Analysis Beispiele

$\frac{6 t^{2} - 6}{2 t - 4}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 t^{2} - 6$ und $2 t - 4$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 t^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) - 6}{2 t - 4}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) + 2 \cdot - 3}{2 t - 4}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 t^{2}) + 2 (- 3)$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t - 4}]$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t) - 4}]$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t + 2 \cdot - 2}]$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 t + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d t} [\frac{3 t^{2} - 3}{t - 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 3 t^{2} - 3$ und $g (t) = t - 2$ .

$\frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 3] - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t - 2) (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(t - 2) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(t - 2) (6 t + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t - 2) (6 t + 0) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $6 t$ und $0$ .

$\frac{(t - 2) (6 t) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $t - 2$ .

$\frac{6 \cdot (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + 0)}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \cdot 1}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(6 t + 6 \cdot - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{6 (t \cdot t) + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{6 t^{2} + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $3 t^{2}$ von $6 t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2} - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2} - 12 t + 3$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2}$ heraus.

$\frac{3 (t^{2}) - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12 t$ heraus.

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (t^{2}) + 3 (- 4 t)$ heraus.

$\frac{3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (t^{2} - 4 t + 1)}{{(t - 2)}^{2}}$