Analysis Beispiele

$y = x^{2} - x^{2} \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - x^{2} \cos (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x^{2} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 x - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x))$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x))$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x + 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x))$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$2 x + x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x))$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x + x^{2} \sin (x) - 2 \cos (x) x$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 2 x$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 2 x$