Analysis Beispiele

$y = \sin (2 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (2 x) (2 x')$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $\cos (2 x) (2 x')$ um.

$2 \cos (2 x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cos (2 x) x' = 1$ um.

$2 \cos (2 x) x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) x' = 1$ durch $2 \cos (2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) x' = 1$ durch $2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.2.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$