Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $2 x - 2 + \cos (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - 2 + \cos (x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - 2 + \cos (0)$

Schritt 4.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 - 2 + 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2 + 1$

Schritt 4.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1$