Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{9}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{1}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe $x^{10}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$9 \int {(x^{10})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{10})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int x^{10 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$9 \int x^{- 10} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 10}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{9} x^{- 9}$ .

$9 (- \frac{1}{9} x^{- 9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 9}$ und $\frac{1}{9}$ .

$9 (- \frac{x^{- 9}}{9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 9}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Schritt 8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{9}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe $x^{9}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int {(x^{9})}^{- 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{9 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{- 9} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 9}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Kombiniere $x^{- 8}$ und $\frac{1}{8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C)$

Schritt 11.1.2

Bringe $x^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{- 1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} - 8 \frac{1}{8 x^{8}} + C$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{8 x^{8}}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 8}{8 x^{8}} + C$

Schritt 11.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Schritt 11.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.4.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{8}$ heraus.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 (x^{8})} + C$

Schritt 11.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Schritt 11.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 1}{x^{8}} + C$

Schritt 11.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$