Analysis Beispiele

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.1.1.2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.2.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe ${(1 - 2 x)}^{2}$ als $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Schritt 1.1.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Schritt 1.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.1.2.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 1.1.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 1.1.2.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 1.1.2.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Schritt 1.1.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Schritt 1.1.2.14

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Schritt 1.1.2.14.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.14.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Schritt 1.1.2.14.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$24 - 48 x$

Schritt 1.1.2.14.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 48 x + 24 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 48 x = - 24$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 48 x = - 24$ durch $- 48$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 48 x = - 24$ durch $- 48$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 48$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $- 48$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24$ heraus.

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 48$ heraus.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 48$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $24$ .

$f'' (0) = 24$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 48$ mit $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 144$ und $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 120$ .

$- 120$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ konkav, weil $f'' (3)$ negativ ist.

Der Graph ist konkav

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Der Graph ist konkav

Schritt 7