Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(i^{2} + 2)}^{2}$ als $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ um.

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $i^{2}$ mit $i^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

Schritt 1.3.2

Addiere $2 i^{2}$ und $2 i^{2}$ .

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die ausmultiplzierte Form.

$2153645$

Schritt 4

Berechne $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $25$ und $1$ .

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $25$ mit $26$ .

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $50$ und $1$ .

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $650$ mit $51$ .

$4 (\frac{33150}{6})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{33150}{6}$

Schritt 4.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{33150}{3})$

Schritt 4.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{33150}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $33150$ .

$\frac{66300}{3}$

Schritt 4.3.2.4.2

Dividiere $66300$ durch $3$ .

$22100$

Schritt 5

Berechne $\sum_{i = 1}^{25} 4$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(4) (25)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$100$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2153645 + 22100 + 100$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Addiere $2153645$ und $22100$ .

$2175745 + 100$

Schritt 7.2

Addiere $2175745$ und $100$ .

$2175845$