Analysis Beispiele

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d x} (x^{5} + 4 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2} y^{7}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} y^{7}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y]) + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y]) + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x^{2} (7 y^{6} y') + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6} y') + y^{7} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} y' + y^{7} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} y' + 2 y^{7} x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} y' + 2 y^{7} x) - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} y' + 2 y^{7} x) - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} y' + 2 y^{7} x) - 2$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (7 x^{2} y^{6} y') + 4 (2 y^{7} x) - 2$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$28 (x^{2} y^{6} y') + 4 (2 y^{7} x) - 2$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$28 x^{2} y^{6} y' + 8 y^{7} x - 2$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$28 y^{6} x^{2} y' + 8 y^{7} x - 2$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 4 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} + 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 x^{4} + 4 (3 y^{2} y')$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$5 x^{4} + 12 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$28 y^{6} x^{2} y' + 8 y^{7} x - 2 = 5 x^{4} + 12 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $12 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$28 y^{6} x^{2} y' + 8 y^{7} x - 2 - 12 y^{2} y' = 5 x^{4}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $8 y^{7} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$28 y^{6} x^{2} y' - 2 - 12 y^{2} y' = 5 x^{4} - 8 y^{7} x$

Schritt 5.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$28 y^{6} x^{2} y' - 12 y^{2} y' = 5 x^{4} - 8 y^{7} x + 2$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4 y^{2} y'$ aus $28 y^{6} x^{2} y' - 12 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4 y^{2} y'$ aus $28 y^{6} x^{2} y'$ heraus.

$4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2}) - 12 y^{2} y' = 5 x^{4} - 8 y^{7} x + 2$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4 y^{2} y'$ aus $- 12 y^{2} y'$ heraus.

$4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2}) + 4 y^{2} y' \cdot - 3 = 5 x^{4} - 8 y^{7} x + 2$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4 y^{2} y'$ aus $4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2}) + 4 y^{2} y' \cdot - 3$ heraus.

$4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2} - 3) = 5 x^{4} - 8 y^{7} x + 2$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2} - 3) = 5 x^{4} - 8 y^{7} x + 2$ durch $4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2} - 3) = 5 x^{4} - 8 y^{7} x + 2$ durch $4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)$ .

$\frac{4 y^{2} y' (7 y^{4} x^{2} - 3)}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 8 y^{7} x}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y' (7 y^{4} x^{2} - 3)}{y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 8 y^{7} x}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (7 y^{4} x^{2} - 3)}{7 y^{4} x^{2} - 3} = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 8 y^{7} x}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 y^{4} x^{2} - 3$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (7 y^{4} x^{2} - 3)}{7 y^{4} x^{2} - 3} = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 8 y^{7} x}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 8 y^{7} x}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 y^{7} x$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{4 (- 2 y^{7} x)}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{4 (- 2 y^{7} x)}{4 (y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3))} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{4 (- 2 y^{7} x)}{4 (y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3))} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 2 y^{7} x}{y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{7}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 2 y^{7} x$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{y^{2} (- 2 y^{5} x)}{y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{y^{2} (- 2 y^{5} x)}{y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{- 2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{(2) y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} + \frac{2 (1)}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} + \frac{2 (1)}{2 (2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3))}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} + \frac{2 \cdot 1}{2 (2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3))}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.2

Um $- \frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 y^{2}}{4 y^{2}}$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3} \cdot \frac{4 y^{2}}{4 y^{2}} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 (7 y^{4} x^{2} - 3) y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y^{5} x}{7 y^{4} x^{2} - 3}$ mit $\frac{4 y^{2}}{4 y^{2}}$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x (4 y^{2})}{(7 y^{4} x^{2} - 3) (4 y^{2})} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(7 y^{4} x^{2} - 3) (4 y^{2})$ um.

$y' = \frac{5 x^{4}}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} - \frac{2 y^{5} x (4 y^{2})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 x^{4} - 2 y^{5} x (4 y^{2})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4} - 2 y^{5} x (4 y^{2})$ heraus.

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Schritt 5.4.3.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{x (5 x^{3}) - 2 y^{5} x (4 y^{2})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 y^{5} x (4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (5 x^{3}) + x (- 2 y^{5} (4 y^{2}))}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{3}) + x (- 2 y^{5} (4 y^{2}))$ heraus.

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 2 y^{5} (4 y^{2}))}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 2 \cdot 4 y^{5} y^{2})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.3

Multipliziere $y^{5}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.5.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 2 \cdot 4 (y^{2} y^{5}))}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 2 \cdot 4 y^{2 + 5})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.3.3

Addiere $2$ und $5$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 2 \cdot 4 y^{7})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 8 y^{7})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.6

Um $\frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 8 y^{7})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 (7 y^{4} x^{2} - 3) y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 8 y^{7})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{2 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3) \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 8 y^{7})}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)} + \frac{2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x (5 x^{3} - 8 y^{7}) + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{x (5 x^{3}) + x (- 8 y^{7}) + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x \cdot x^{3} + x (- 8 y^{7}) + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{5 x \cdot x^{3} - 8 x y^{7} + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.9.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$y' = \frac{5 (x^{3} x) - 8 x y^{7} + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.4.3.9.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{5 (x^{3} x^{1}) - 8 x y^{7} + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{5 x^{3 + 1} - 8 x y^{7} + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 5.4.3.9.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4} - 8 x y^{7} + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4} - 8 x y^{7} + 2}{4 y^{2} (7 y^{4} x^{2} - 3)}$