Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7.2.1.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.7.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Schritt 1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{- 2 - x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- 2 - x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 - x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.8

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.10

Schreibe $- 1 e^{- 2 - x}$ als $- e^{- 2 - x}$ um.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.5

Addiere $- 3 e^{- 2 - x}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.8

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

Schritt 3.9

Addiere $4 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{- 3}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombinieren.

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 10.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{- 3}{- 8}$

Schritt 10.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3}{8}$