Analysis Beispiele

$x^{3} e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Schritt 10

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Schritt 11

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Schritt 12

Schreibe $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ als $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ um.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$