Analysis Beispiele

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 2 u^{3}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2 u^{3}$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 3

Kombiniere ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ als $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ um.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $30$ .

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Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $15$ aus $30$ heraus.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$