Analysis Beispiele

$x^{2} y - 2 = 3 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 2) = \frac{d}{d x} (3 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $x^{2} y' + 2 y x$ und $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y = 6 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $6 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y - 6 y y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' - 6 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} - 6 y y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 y y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (- 6 y)$ heraus.

$y' (x^{2} - 6 y) = - 2 x y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} - 6 y) = - 2 x y$ durch $x^{2} - 6 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} - 6 y) = - 2 x y$ durch $x^{2} - 6 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 6 y)}{x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 6 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 6 y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} - 6 y)}{x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 6 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 6 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 6 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 6 y}$