Analysis Beispiele

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Schritt 3

Sei $u = - 2 x - 4$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 2 x - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 2 x - 4$ ein.

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 2 x - 4$ ein.

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Schritt 10

Berechne $e^{u}$ bei $- 2 t - 4$ und $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Schritt 11.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Schritt 11.2

Da der Exponent $- 2 t - 4$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 t - 4}$ $0$ an.

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{- 8}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- (0 - e^{- 8})$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Schritt 11.3.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{e^{8}}$ von $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Schritt 11.3.2.3

Multipliziere $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

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Schritt 11.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Schritt 11.3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{8}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{e^{8}}$

Dezimalform:

$0.00033546 \dots$