Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Schritt 6

Berechne $\arctan (u)$ bei $0$ und $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Schritt 7.1.2

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Schritt 7.3

Multipliziere $- - \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{4}$

Dezimalform:

$0.78539816 \dots$