Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 16 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 16 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + 0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$16 - 32 + 2$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$- 16 + 2$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $- 16$ und $2$ .

$- 14$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$16 - 32 + 2$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$- 16 + 2$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Addiere $- 16$ und $2$ .

$- 14$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Schritt 3

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 3.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 3.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 16 x$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 256$ und $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 192$ .

$- 192$

Schritt 3.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 16 x$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 4$ und $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 3.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, 2)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 16 x$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f' (1) = - 12$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 3.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 16 x$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere $4$ mit ${(4)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit ${(4)}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Schritt 3.5.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Schritt 3.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $64$ von $256$ .

$f' (4) = 192$

Schritt 3.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $192$ .

$192$

Schritt 3.6

Da die erste Ableitung um $x = - 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 2$ ein lokales Minimum.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3.8

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Minimum.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 2)$

Absolutes Minimum: $(- 2, - 14)$

Schritt 5