Analysis Beispiele

$\sqrt{e^{4 x - 2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{e^{4 x - 2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{e^{4 x - 2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{4 x - 2}$ als ${(e^{2 x - 1})}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(e^{2 x - 1})}^{2}} d x$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int e^{2 x - 1} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$