Analysis Beispiele

$5^{3 x^{2} - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 5^{x}$ und $g (x) = 3 x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 1$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x + 0)$

Schritt 2.6

Addiere $6 x$ und $0$ .

$5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $5^{3 x^{2} - 1} \ln (5) (6 x)$ um.

$6 \cdot 5^{3 x^{2} - 1} x \ln (5)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren in $6 \cdot 5^{3 x^{2} - 1} x \ln (5)$ um.

$6 x \cdot 5^{3 x^{2} - 1} \ln (5)$