Analysis Beispiele

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{2}{3}} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.11

Multipliziere.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Schritt 2.11.2

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$