Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{11} + 11^{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} x^{11} + 11^{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{11} d x + \int_{0}^{1} 11^{x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{11}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{12}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 11^{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $11^{x}$ nach $x$ ist $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{1}{12} x^{12}]_{0}^{1} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{12} x^{12}]_{0}^{1}$ und $\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{12} x^{12} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{0}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{12} x^{12} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{11^{1}}{\ln (11)}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{11^{1}}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11^{1}}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $0$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (0 + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (0 + \frac{1}{\ln (11)})$

Schritt 5.2.2.7

Addiere $0$ und $\frac{1}{\ln (11)}$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - \frac{1}{\ln (11)}$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{12} + \frac{11 - 1}{\ln (11)}$

Schritt 5.2.2.9

Subtrahiere $1$ von $11$ .

$\frac{1}{12} + \frac{10}{\ln (11)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{12} + \frac{10}{\ln (11)}$

Dezimalform:

$4.25365724 \dots$

Schritt 7