Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{6 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{6 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2$ und $6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2) - 6 \cdot 2}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 3 \cdot 2)}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 3 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2}) + 2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2}) + 2 (2)}$

Schritt 11.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \cdot 2^{2}) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2} + 2)}$

Schritt 11.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2} + 2)}$

Schritt 11.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 6}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 + 2}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{0}{12 + 2}$

Schritt 11.3.3

Addiere $12$ und $2$ .

$\frac{0}{14}$

Schritt 11.4

Dividiere $0$ durch $14$ .

$0$