Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \sqrt{h + 4} + 18}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} - 9 \sqrt{h + 4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{h \to 0} 9 \sqrt{h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{- 9 lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + 4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{- 9 \sqrt{0 + 4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{- 9 \sqrt{4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 9 \sqrt{2^{2}} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{- 18 + 18}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Addiere $- 18$ und $18$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \sqrt{h + 4} + 18}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4} + 18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4} + 18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 \sqrt{h + 4} + 18$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4}] + \frac{d}{d h} [18]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4}] + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{h + 4}$ als ${(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 9 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ nach $h$ gleich $- 9 \frac{d}{d h} [{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \frac{d}{d h} [{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ und $g (h) = h + 4$ .

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Schritt 1.3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $h + 4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [h + 4]) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h + 4]) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $h + 4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h + 4]) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $h + 4$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4])) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d h} [4])) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.12

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{{(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.14

Mutltipliziere $\frac{{(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \frac{{(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.15

Bringe ${(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \frac{1}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.16

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Da $18$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} - \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{h + 4}$ um.

$lim_{h \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{h + 4}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{h + 4}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \frac{9}{2 \sqrt{h + 4}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{9}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{9}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{h + 4}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + 4}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + 4}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Addiere $0$ und $4$ .

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere $- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{9}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{9}{4}$

Dezimalform:

$- 2.25$