Analysis Beispiele

$x e^{x} d x$

Schritt 1

Schreibe $x e^{x} d x$ als Funktion.

$f (x) = x e^{x} d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} e^{x} d d x$

Schritt 5

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int x^{2} e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Schritt 9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Schritt 10

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Schritt 11

Schreibe $d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ als $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ um.

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x e^{x} d x$ .

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$