Analysis Beispiele

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Schritt 2

Sei $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Dann ist $d u = (30 x + 10) d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{2} + 10 x - 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.5.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$30 x + 10 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $30 x + 10$ und $0$ .

$30 x + 10$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{10}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $6$ .

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $10$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$