Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Schritt 2

Schreibe $\sec^{2} (θ)$ in $1 + \tan^{2} (θ)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Schritt 3

Sei $u = \tan (θ)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \tan (θ)$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $θ$ in $u = \tan (θ)$ ein.

$u_{lower} = \tan (0)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $θ$ in $u = \tan (θ)$ ein.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Schritt 4

Multipliziere $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Schritt 5.2.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.5

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.6

Um $\frac{1}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.7.4

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.9

Addiere $7$ und $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 10.2.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Schritt 10.2.13

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Schritt 10.2.14

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Schritt 10.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Schritt 10.2.16

Addiere $\frac{12}{35}$ und $0$ .

$\frac{12}{35}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12}{35}$

Dezimalform:

$0.3\overline{428571}$