Analysis Beispiele

$2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$

Schritt 1

Schreibe $2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$ als Funktion.

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{3} d x + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{3} d x + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

Schritt 7

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} \int x^{2} d x + \int 5 x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 x d x$

Schritt 9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + 5 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + 5 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{5 x^{2}}{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + C$