Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Addiere $5 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $13$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$13 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.7.2

Addiere $0$ und $0$ .

$13 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$13 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$13 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$13 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 16 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Schritt 4.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Schritt 4.1.3.2

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Schritt 4.1.3.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Schritt 4.1.3.4

Ziehe den Term $32$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 4.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 32 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Schritt 4.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 4.3.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Schritt 4.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Schritt 4.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Schritt 4.3.5.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $36 x^{2} - 32$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ heraus.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Schritt 4.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Schritt 4.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Schritt 5.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $13$ mit $3$ .

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $18 \cdot 0^{2}$ heraus.

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 16$ heraus.

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ heraus.

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Schritt 7.2.4

Schreibe $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ als $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ um.

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Schritt 7.2.5

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Schritt 7.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ heraus.

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Schritt 7.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Schritt 7.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

Schritt 7.3.3

Addiere $0$ und $8$ .

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$39 (\frac{0}{- 8})$

Schritt 7.5

Dividiere $0$ durch $- 8$ .

$39 \cdot 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $39$ mit $0$ .

$0$