Analysis Beispiele

$\int 2 x^{2} (x - 2) (4 x - 5) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int (x^{2} (x - 2)) (4 x - 5) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 4 x - 5$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 4 x - 5$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 8}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $8$ von $5$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{- 3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}$ .

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} d u_{1}$

Schritt 3.7

Kombiniere $u_{1}$ und $\frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4}$ .

$2 \int \frac{u_{1} {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{4} d u_{1}$ , folglich $4 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{4}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{4}$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (\frac{4 u_{2} - 5}{4} - \frac{3}{4}) d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 5 - 3}{4} d u_{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 8}{4} d u_{2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 u_{2} - 8$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u_{2}$ heraus.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) - 8}{4} d u_{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) + 4 \cdot - 2}{4} d u_{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (u_{2}) + 4 (- 2)$ heraus.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4} d u_{2}$

Schritt 5.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 (1)} d u_{2}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 \cdot 1} d u_{2}$

Schritt 5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{u_{2} - 2}{1} d u_{2}$

Schritt 5.3.4.4

Dividiere $u_{2} - 2$ durch $1$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (u_{2} - 2) d u_{2}$

Schritt 6

Sei $u_{3} = u_{2} - 2$ . Dann ist $d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u_{3} = u_{2} - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $u_{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 2]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{2} - 2$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Schritt 6.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) {(u_{3} + 2)}^{2} u_{3} d u_{3}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe ${(u_{3} + 2)}^{2}$ als $(u_{3} + 2) (u_{3} + 2)$ um.

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) ((u_{3} + 2) (u_{3} + 2)) u_{3} d u_{3}$

Schritt 7.2