Analysis Beispiele

$x \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $x \sin^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = x \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sin^{2} (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Schritt 8

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

Schritt 9

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Schritt 11.2

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2} - x \frac{\sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Kombiniere $\frac{\sin (2 x)}{4}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Schritt 13.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Schritt 13.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Schritt 13.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Schritt 13.3.6

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Schritt 13.3.7

Um $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Schritt 13.3.8

Kombiniere $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 15.3.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Schritt 15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Schritt 15.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (2 x) x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Schritt 16.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - (x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Schritt 16.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (2 x) x) - (x^{2})$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Schritt 16.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Schritt 16.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Schritt 16.6

Schreibe $- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ als $- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ um.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Schritt 16.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Schritt 16.8

Stelle die Faktoren in $- \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4}$ um.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Schritt 16.9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$