Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $- 2$ und $1$ .

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 6.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{1}{2} + 1)$

Schritt 6.2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 6.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1 + 2}{2}$

Schritt 6.2.8

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$- 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{1}{2}$

Schritt 8