Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 4 x$ . Dann ist $d u = (2 x - 4) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 x - 4$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 4 x$ ein.

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 4 x$ ein.

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\ln (| u |)$ bei $- 3$ und $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $\ln (| - 3 |)$ von $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$

Schritt 6