Analysis Beispiele

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , folglich $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \csc (t)$ und $g (t) = 2 π t$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2 π$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 π t$ nach $t$ gleich $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Schritt 1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ um.

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = \csc (2 π t)$ ein.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Schritt 1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Schritt 1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = \csc (2 π t)$ ein.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Schritt 1.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ bei $1$ und $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2 π}$ und $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Schritt 4.2.4

Um $\frac{1}{π}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 π$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Schritt 4.2.5.2

Stelle die Faktoren von $π \cdot 2$ um.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Schritt 4.2.7

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2 π}$

Dezimalform:

$0.15915494 \dots$